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By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

ISBN-10: 3034892691

ISBN-13: 9783034892698

ISBN-10: 3764322292

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Da A c B, ist (UnA) u(VnA) = A und (UnA)n(VnA) = 0. Weil B C A, ist aber AnU =f. 0 und A n V =f. 0, und A ist nicht zusammenhang~nd. 8 Satz. Es seien X ein topologischer Raum und (Xa)aEA eine Familie von zusammenhiingenden Teilmengen von X. Wenn n Xa =f. 0 ist, dann ist aEA U Xa zusammenhiingend. aEA BEWEIS: Es wird gezeigt, da13 jede stetige Abbildung f von U Xa in einen aEA diskreten Raum konstant ist. 4 folgt dann die Behauptung. Es seien a E n Xa und f eine stetige Abbildung von U Xa in einen diskreten aEA aEA Raum.

1st F eine maximale Familie von Teilmengen von X, die EDE erfuIlt, so gelten folgende Aussagen: (i) Jeder endliche Durchschnitt von Elementen aus F gehort zu F. (ii) 1st U C X und UnF =f. 0 fur aile FE F, so ist U E:F. BEWEIS: Zu (i): Sind GI , ... , Gn E F, so ist G = GI n ... n Gn =f. 0 und F U{ G} besitzt die EDE. Da F maximal ist, ist G E :F. Zu (ii): Da Un F =f. 0 fiir alle F E F, folgt mit (i), daB FU{U} die EDE besitzt. Wegen der Maximalitat von Fist U E F. 13. Seien (Xc»c>EA eine Familie von nicht-Ieeren quasikomXc> das topologische Produkt, und 7r C> : X ~ Xl> sei pakten Riiumen, X = fiir jedes a E A die natiirliche Projektion.

Da auBerdem Vin CUi, ist V = (Vin)iEI,nEIN eine offene Uberdeckung von X, die U verfeinert, und V ist Vereinigung der Familien Vn = (Vin )iEI, die lokalendlich sind. U Aj fur n 2: 1, sowie Win = en n Vin fur alle i E lund n E IN. Die Familie W = (Win)iEI,nElNist eine Verfeinerung von U und eine lokalendliche Uberdeckung von X. Um das einzusehen, wiihlt 00 man ein x EX. Da U An = X, gibt es ein kleinstes n mit x E An und damit n=O X E en· Wei I U Win :J en, existiert ein i E I mit x E Win = en n Vin.

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by Mark
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